Forschungsthemen

 

Higher-order network models

Bisher werden Netzwerke mathematisch meist über Graphen dargestellt. Während Graphen jedoch ausschließlich paarweise Interaktionen zwischen Knoten erfassen können, finden Interaktionen in Netzwerken häufig zwischen mehreren Knoten statt. Beispiele reichen von sozialen und kollaborativen Kontexten, in denen Menschen in Gruppen statt zu zweit interagieren, bis hin zu neuronaler Aktivität im Gehirn.
In diesem Forschungsbereich ist es unser Ziel, neue Arten von Modellen wie Hypergraphen und simpliziale Komplexe zu untersuchen, die Interaktionen zwischen Gruppen von Knoten erfassen, zum Beispiel Tripletts, Quadrupletts.

Uns beschäftigen Fragen wie:

1. Wie können wir die Auswirkungen nicht-binärer Relationen auf dynamische Eigenschaften vernetzter Systeme analysieren?
2. Wie können wir dezentrale Regelungs- und Optimierungsstrategien entwerfen, die solche nicht-binären Interaktionen nutzen?
3. Wie können wir nicht-binäre Relationen für die Analyse von Daten der realen Welt, zum Beispiel aus biologischen oder sozialen Netzwerken, nutzen?

 

Relationale Daten als Netzwerk

Ein Bereich, in dem sich Netzwerke durchgesetzt haben, ist die Modellierung und Analyse relationaler Daten. Zum Beispiel können wir Daten haben, die soziale Beziehungen wie Freundschaften zwischen Menschen messen. Solche Daten können in einem Netzwerkmodell abgebildet werden, indem Personen mit Knoten identifiziert werden und die Beziehungen zwischen ihnen als Kanten. Da in der Regel Unsicherheit über die wahren Kanten besteht, müssen wir möglicherweise eine statistische Perspektive auf die gemessene Netzwerktopologie einnehmen und sie über ein Zufallsgraphenmodell modellieren. Viele statistische Herausforderungen ergeben sich aus der Tatsache, dass wir normalerweise mit n=1 beobachteten Netzwerkstichproben konfrontiert sind.

Einige Probleme, an denen wir in diesem Bereich interessiert sind, sind die Identifizierung von verschiedenen Merkmalen in einem solchen Netzwerk, wie die Identifizierung wichtiger Knoten durch Zentralitätsmaßnahmen oder die Erkennung von Clustern („Communities“) und hierarchischen Strukturen, die potenziell im Netzwerk vorhanden sind.

 

Dynamik und Daten auf Netzwerken

Bei Problemen, die sich in der Regelungstechnik und dem Bereich der dynamischen Systemen ergeben, betrachten wir oft ein dynamisches System, das auf einer Netzwerkstruktur definiert ist. Eine ähnliche Sichtweise wird auch bei der Graphsignalverarbeitung verwendet, bei der das Netzwerk die Struktur definiert, auf der ein Signal unterstützt wird. Das Objekt, das uns interessiert, ist ein mit Unsicherheit behaftestes Signal, das an den Knoten des Graphen definiert ist, z. B. eine Zeitreihe für jeden Knoten, oder andere Arten von Messungen.

Unsere Arbeit konzentriert sich darauf, solche Dynamiken und Daten besser zu verstehen, indem wir die zugrunde liegende Netzwerkstruktur berücksichtigen. Interessante Probleme in diesem Bereich umfassen

1. das Verständnis der Entstehung von Mustern in teilweise strukturierten Netzwerken,
2. die Reduktion der Modellordnung und ihre Verbindungen zum Graph-Clustering,
3. die Inferenz der Netzwerkstruktur aus der Dynamik.

 

Interdisziplinäre Anwendungen

Eine der Stärken von Netzwerkmodellen ist ihre Vielseitigkeit: Netzwerke werden als Abstraktionen für soziale, physikalische, biologische und technische Systeme verwendet. Aufgrund unseres multidisziplinären Hintergrunds arbeiten wir an einer Reihe von Anwendungen. Unser besonderes Interesse gilt biologischen Problemen, wie der Analyse neurophysiologischer Daten oder der Analyse von Proteinen und genetischen Daten, sowie Anwendungen im Bereich sozialer Systeme wie Meinungsbildung in sozialen Netzwerken und Modellierung systematischer Verzerrungen.